Antto Tunkkari aloitti sello-opintonsa Kokkolassa Katriina Outakosken oppilaana. Lukiovuosinaan häntä opetti Lauri Pulakka. Jatkettuaan opintojaan Sibelius-Akatemiassa Tunkkari on opiskellut Roi Ruottisen ja Tuomas Lehdon luokalla. Ensi syksynä Tunkkari aloittaa vaihto-opintonsa Enrico Bronzin luokalla Universität Mozarteum Salzburgissa. Mestarikursseilla Tunkkaria ovat inspiroineet mm. David Cohen, Josephine Knight, Jan-Erik Gustafsson, Marko Ylönen, Reinhard Lazko sekä James Wilson.

Tunkkari on innokas kamarimuusikko: hän on esiintynyt kamarimuusikkona mm. RUSK-festivaaleilla, Hetan Musiikkipäivillä ja Kokkolan Talviharmonikassa. Tunkkari on myös Kokkolan SyysKamari -kamarimusiikkifestivaalin toinen taiteellinen johtaja. Kamarimusisoinninssa Tunkkaria ovat opastaneet mm. Paavo Pohjola, Paavali Jumppanen sekä Eero Heinonen. Orkesteritöitä Tunkkari tekee säännöllisesti mm. Radion Sinfoniaorkesterissa ja Keski-Pohjanmaan Kamariorkesterissa, jonka solistina hän on myös esiintynyt. Soolosellistin tehtävissä hän on toiminut mm. Sibelius-Akatemian sinfoniaorkesterissa. Hänen opintojaan ovat tukeneet Keskipohjanmaa-lehden säätiö sekä Sibelius-Akatemian tukisäätiö.